Question

设函数f（x）=lnx，．
（I）若g（x）在其定义域内为单调递增函数，求实数p的取值范围；
（II）求证：f（1+x）≤x（x＞-1）；
（III）求证：．

Answer

（I）根据对数式的真数大于0，可以求出函数g（x）的定义域，若g（x）在其定义域内为单调递增函数，则g′（x）≥0在其定义域内为恒成立，由此构造关于p的不等式，解不等式即可得到实数p的取值范围；
（II）令h（x）=ln（1+x）-x，利用导数法，我们易求出函数的最小值，比照后进而得到f（1+x）≤x（x＞-1）恒成立；
（III）由（II）得，当时，则，累加后，整理可得．
【解析】
（I）函数f（x）=lnx的定义域为（0，+∞）
（1分）
则函数f（x）的定义域也为（0，+∞）
若
∵∴
∴p≥1（4分）
（II）令h（x）=ln（1+x）-x
（5分）
令h'（x）=0⇒x=0

x （-1，0） （6分）
（0，+∞）
h'（x） + -

∴x=0时，h（x）=h（0）=0
∴x＞-1时，h（x）≤0⇒ln（x+1）≤x（8分）
（III）由（II），令，则（10分）
=ln（n+1）（13分）