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已知A、B是△ABC的两个内角,且tanA、tanB是方程x2+mx+m+1=0...

已知A、B是△ABC的两个内角,且tanA、tanB是方程x2+mx+m+1=0的两个实根,求m的取值范围
由tanA、tanB是方程x2+mx+m+1=0的两个实根,结合韦达定理(一元二次方程根现系数关系)我们得到tanA+tanB=-m,tanAtanB=m+1,代入两角和的正切公式,结合A、B是△ABC的两个内角,易得到A+B的大小,进而给出A,B的取值范围,进而得到方程两根的取值范围,后续有两种思路: 解法一:构造函数f(x)=x2+mx+m+1,则函数的两个零点均在区间(0,1)内,利用二次函数的性质构造关于m的不等式组可以求出满足条件的m的范围. 解法二:由x2+mx+m+1=0,将-m表示为=然后利用“对勾”函数的单调性进行解答. 解法一:依题意有,tanA+tanB=-m,tanAtanB=m+1, ∴tan(A+B)===1 ∵从而, 故tanA∈(0,1),tanB∈(0,1) 即方程x2+mx+m+1=0的两个实根均在(0,1)内 设f(x)=x2+mx+m+1,则函数f(x)与x轴有两个交点,且交点在(0,1)内; 又函数f(x)的图象是开口向上的抛物线,且对称轴方程为, 故其图象满足 即 解得, 故所求m的范围是 解法二:依题意有,tanA+tanB=-m,tanAtanB=m+1, ∴tan(A+B)===1 ∵从而, 故tanA∈(0,1),tanB∈(0,1) 即方程x2+mx+m+1=0的两个实根均在(0,1)内 则x2+mx+m+1=0得-m(x+1)=x2+1 即 =; 故所求m的范围是
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  • 题型:解答题
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