Question

如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，对角线AC⊥BD，且A（0，0），B（4，0）
（1）求点C的轨迹M；
（2）过点B的直线l交轨迹M于E，F两点，求证：AE⊥AF．

Answer

（1）直接设C（x，y）（x≠0），则D（0，y），由AC⊥BD，由斜率之际为-1，或向量的数量积为0，
直接可求得点C的轨迹方程，再由方程确定轨迹即可．
（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），AE⊥AF⇔x1x2+y1y2=0．故只需联力方程、消元、维达定理纠结即可．
【解析】
如图建立坐标系，设C（x，y）（x≠0），
则D（0，y），=（x，y），=（-4，y）∵⊥，⇒y2=4x（x≠0）
∴所求的轨迹M是除去顶点的抛物线
（2）当直线l垂足x轴时，命题显然处理，当斜率不存在时，设直线l：y=k（x-4）（k≠0）
联立y2=4x⇒k2x2-（8k2+4）x+16k2=0，；设E（x1，y1），F（x2，y2）
则x1+x2=；x1x2=16而y1y2=k2（x1-4）（x2-4）=-16
∴x1x2+y1y2=0，则AE⊥AF