Question

如图，在三棱拄ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，已知BC=1，BB₁=C₁C，∠BCC₁=，
（1）求证：C₁B⊥平面ABC；
（2）试在棱CC₁（不包含端点C，C₁上确定一点E的位置，使得EA⊥EB₁；
（3）在（2）的条件下，求二面角A-EB₁-A₁的平面角的正切值．

Answer

（1）要证明C1B⊥平面ABC，根据本题条件，需要证明BC1AB⊥，由AB⊥侧面BB1C1C就可以解决；而要证明C1B⊥BC；则需要通过解三角形来证明；
（2）要确定E点的位置，使得EA⊥EB1，由三垂线定理，必有BE⊥B1E，通过解直角三角形BEB1解决；
（3）需要作出二面角的平面角，通过解三角形解决．
证明：（1）因为AB⊥侧面BB1C1C，故AB⊥BC1，
在△BC1C中，由余弦定理有：
=，
故有BC2+BC12=CC12∴C1B⊥BC，
而BC∩AB=B且AB，BC⊂平面ABC，
∴C1B⊥平面ABC；

（2）EA⊥EB1，AB⊥EB1，AB∩AE=A，AB，AE⊂平面ABE，
从而B1E⊥平面ABE，且BE⊂平面ABE，故BE⊥B1E，
不妨设CE=x，则C1E=2-x，则BE2=1+x2-x，
又∵则B1E2=1+x2+x，
在Rt△BEB1中有x2+x+1+x2-x+1=4，从而x=±1（舍负），
故E为CC1的中点时，EA⊥EB1，

（3）取EB1的中点D，A1E的中点F，BB1的中点N，AB1的中点M
连DF，则DF∥A1B1，连DN则DN∥BE，连MN则MN∥A1B1，
连MF则MF∥BE，且MN∥DF，MD∥AE
又∵A1B1⊥EB1，AE⊥EB1，故DF⊥EB1，MD⊥EB1，∠MDF为所求二面角的平面角，
在Rt△DFM 为正三角形）
=．