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已知函数f(x)=2aln(1+x)-x(a>0). (I)求f(x)的单调区间...

已知函数f(x)=2aln(1+x)-x(a>0).
(I)求f(x)的单调区间和极值;
(II)求证:manfen5.com 满分网(n∈N*).
(I)先求函数的定义域,然后求出函数的导函数,再讨论导数的正负,在函数的定义域内解不等式fˊ(x)>0和 fˊ(x)<0,即可求出函数的单调区间,从而得出函数的极值; (II)利用对数的运算性质将欲证不等式进行变形,即证 对函数f(x)令,由(I)可知f(x)在(0,+∞)上递减,故f(x)<f(0)=0,即可得ln(1+x)<x,最后令,取n=1、2、3…、n,将所得的不等式累加即可得出要证的不等式成立. 【解析】 (I)定义域为(-1,+∞) 令f'(x)>0⇒-1<x<2a-1,令f'(x)<0⇒x>2a-1 故f(x)的单调递增区间为(-1,2a-1) f(x)的单调递减区间为(2a-1,+∞) f(x)的极大值为2aln2a-2a+1 (II)证:要证 即证 即证 即证 令,由(I)可知f(x)在(0,+∞)上递减 故f(x)<f(0)=0 即ln(1+x)<x 令 故 累加得, 故,得证
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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