Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形，PD⊥底面ABCD，设PD=，M、N分别是PB、AB的中点．
（I）求异面直线MN与PD所成角的大小；
（II）求二面角P-DN-M的大小．

Answer

（I）以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出异面直线MN与PD的法向量，代入向量夹角公式，即可求出异面直线MN与PD所成角的大小；
（II）分别求出平面PDN的一个法向量和平面DMN的一个法向量，代入向量夹角公式，可以求出二面角P-DN-M的余弦值，进而得到二面角P-DN-M的大小．
【解析】
（I）∵四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形，PD⊥底面ABCD，设PD=，M、N分别是PB、AB的中点．
以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，
则M（2，2，2），N（4，2，0），P（0，0，），D（0，0，0）
则=（2，0，-2），=（0，0，-），
设异面直线MN与PD所成角为θ
则cosθ==
∴θ=
（II）设=（a，b，c）为平面PDN的一个法向量
则，即
令a=1，则=（1，-2，0）平面PDN的一个法向量
设=（x，y，z）为平面DMN的一个法向量
则，即
令z=1，则=（，-2，1）为平面DMN的一个法向量
设二面角P-DN-M的平面角为α
则cosα==
∴二面角P-DN-M的大小为arccos