Question

已知函数f（x）=（x²+1）lnx-2x+2的定义域为[1，+∞）．
（I）证明函数y=f（x）在其定义域上单调递增；
（II）设．

Answer

（I）由已知函数的解析式，及定义域，我们易求出函数的导函数的解析式，结合对数的运算性质，我们易判断导函数的符号，进而得到函数y=f（x）在其定义域上单调递增；
（II）结合（I）的结论，及0＜a＜b，我们易得＞0恒成立，利用对数的运算性质及不等式的性质，易得到结论．
【解析】
（I）证明：∵函数f（x）=（x2+1）lnx-2x+2的定义域为[1，+∞）．
∴当x∈[1，+∞）时，f′（x）=2x•lnx+（x+）-2≥0恒成立
故函数f（x）=（x2+1）lnx-2x+2在定义域[1，+∞）上单调递增；
（II）由（I）知，∀x∈[1，+∞）．
f（x）≥f（1）=0恒成立
又∵0＜a＜b，
∴＞1
∴=[（）2+1]ln-2+2＞0
即