Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，E为棱PC上异于C的一点，DE⊥BE．
（1）证明：E为PC的中点；
（2）求二面角P-DE-A的大小．

Answer

（1）由已知中四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，，∠BCD=90°，E为棱PC上异于C的一点，DE⊥BE，我们易得到BC⊥DE，根据等腰三角形三线合一的性质，即可得到E为PC的中点；
（2）设二面角P-DE-A的大小为θ，则sinθ=（其中d为P到平面ADE的距离），利用等体积法求出d值后，即可得到二面角P-DE-A的大小．
证明：（1）∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
∴PD⊥BC
∵∠BCD=90°，即BC⊥CD，PD∩CD=D
∴BC⊥平面PCD
∵DE⊂平面PCD
∴BC⊥DE
又由PD=DC=1，
∴E为PC的中点；
【解析】
（2）∵DE=，AD=，AE=，由余弦定理可得：
∠ADE=
故S△ADE=•AD•DE•sin∠ADE=
设P点到平面ADE的距离为d
则VP-AED=VA-PDE=
则d=
又∵PE⊥DE，设二面角P-DE-A的大小为θ，则sinθ==
故二面角P-DE-A的大小为arcsin