Question

已知集合M是满足下列性质的所有函数f（x）组成的集合：对于函数f（x），定义域内的任意两个不同自变量x₁，x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立．
（1）判断函数f（x）=3x+1是否属于集合M？说明理由；
（2）若在（1，+∞）上属于M，求实数a的取值范围．

Answer

（1）判断f（x）是否属于集合M，就看其是否满足条件，通过具体的反例可以直接判断出来．
（2）g（x）属于M则满足不等式条件，通过解恒成立的不等式，进而求得a的范围．
【解析】
（1）f（x）=3x-1∉M，可举反例说明：
若x1=1，x2=2，则f（x1）=4，f（x2）=7，|f（x1）-f（x2）|=3≤1=|x1-x2|不成立．
（2）对任意两个自变量x1，x2∈（1，+∞），
因为|g（x1）-g（x2）|=
=恒成立．
⇒|a|•||≤1⇒|a|≤||
又x1＞1，x2＞1⇒x1x2＞1⇒（0，1）⇒（1，+∞）
即|a|≤1
故a的取值范围是：[-1，1]