Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点M、N分别在线段AB₁、BC₁上，且AM=BN．以下结论：①AA₁⊥MN；②A₁C₁
∥MN；③MN∥平面A₁B₁C₁D₁；④MN与A₁C₁异面，其中有可能 成立的结论的个数为（ ）

A．4
B．3
C．2
D．1

Answer

根据题意，分析命题：首先利用点M∈AB1，N∈BC1，M，N可以是这两条直线上的任意的点，取特殊位置，得出②④两个结论可能成立，做出辅助线作MM′⊥A1B1于M′，作NN′⊥B1C1于N′，得到①③两个命题是正确的．
【解析】
当M为A，N为B，得出④可能成立；
当M为AB1的中点，N为BC1的中点，得出②可能成立；
作MM′⊥A1B1于M′，作NN′⊥B1C1于N′，
易证|MM′|=|NN′|，MM′∥NN′
∴MN∥M′N′，
由此知①③正确．
有可能 成立的结论的个数为4．
故选A．