Question

椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，椭圆左准线与x轴交于E（-4，0），过E点作不与y轴垂直的直线l与椭圆交于A、B两个不同的点（A在E，B之间）
（1）求椭圆方程；   （2）求△AOB面积的最大值； （3）设椭圆左、右焦点分别为
F₁、F₂，若有，求实数λ，并求此时直线l的方程．

Answer

（1）由题意可得，，，结合a2=b2+c2可求a，b，c，从而可求椭圆的方程
（2）设A（x1，y1），B（x1，y1）由于l不与y轴垂直，设直线l：x=my-4，联立方程消去x可得（3m2+4）y2-24my+36=0（*），由△＞0可得|m|＞2=，原点O到直线l的距离，从而可求三角形的面积，利用基本不等式 可求面积的最大值
（3）由，可得AF1∥BF2，根据平行线分线段成比例可求
【解析】
（1）设椭圆的方程为：，（a＞b＞0，c2=a2-b2）
∵，
∴a=2，b2=3
所以椭圆的方程为
（2）设A（x1，y1），B（x1，y1）由于l不与y轴垂直，设直线l：x=my-4
联立方程消去x可得（3m2+4）y2-24my+36=0（*）
由△＞0可得|m|＞2=
原点O到直线l的距离
所以△AOB的面积，令，m2=t2+4
则，当且仅当即时取得最大值
（3）由，可得AF1∥BF2
∴=
实数λ=