Question

已知F₁，F₂是双曲线的两焦点，以线段F₁F₂为边作正三角形MF₁F₂，若边MF₁的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）
A．4+2
B．-1
C．
D．

Answer

先根据双曲线方程求得焦点坐标的表达式，进而可求得三角形的高，则点M的坐标可得，进而求得其中点N的坐标，代入双曲线方程求得a，b和c的关系式化简整理求得关于e的方程求得e．
【解析】
依题意可知双曲线的焦点为F1（-c，0），F2（c，0）
∴F1F2=2c
∴三角形高是c
M（0，c）
所以中点N（-，c）
代入双曲线方程得：=1
整理得：b2c2-3a2c2=4a2b2
∵b2=c2-a2
所以c4-a2c2-3a2c2=4a2c2-4a4
整理得e4-8e2+4=0
求得e2=4±2
∵e＞1，
∴e=+1
故选D