Question

若函数f（x）满足：对于任意x₁，x₂＞0，都有f（x₁）＞0，f（x₂）＞0且f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）成立，则称函数f（x）具有性质M．给出下列四个函数：①y=x³，②y=log₂（x+1），③y=2^x-1，④y=sinx．其中具有性质M的函数是    （注：把满足题意所有函数的序号都填上）

Answer

根据题意依次分析命题：①②③通过做差比较f（x1）+f（x2）-f（x1+x2）大于还是小于零，得出结论；④当x＞0时，根据函数y=sinx的值域是[-1，1]，得出结论即可．
【解析】
①函数y=x3，当x＞0时，y＞0
f（x1）+f（x2）-f（x1+x2）=x13+x23-（x1+x2）3=-3x12x2-3x22x1＜0
∴f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2） 故①具有性质M的函数；
②当x1，x2＞0时，y=log2（x+1）＞0
f（x1）+f（x2）-f（x1+x2）=log2
∵x1，x2＞0
∴f（x1）+f（x2）-f（x1+x2）=log2＞0
即f（x1）+f（x2）＞f（x1+x2）
故②不具有性质M的函数；
③当x＞0时，y=2x-1的值域（0，+∞）
f（x1）+f（x2）-f（x1+x2）=2x1-1+2x2-1-2x1+x2+1＞0 故③具有性质M的函数；
④当x＞0时，函数y=sinx的值域是[-1，1]，故不具有M的性质．
可通过作差比较得到结论．
故答案为①③．