Question

如图，过点P（1，0）作曲线C：y=x^k（x∈（0，+∞），k∈N*，k＞1）的切线，切点为Q₁，设Q₁点在x轴上的投影是点P₁；又过点P₁作曲线C的切线，切点为Q₂，设Q₂在x轴上的投影是P₂；…；依此下去，得到一系列点Q₁，Q₂，…，Q_n，…，设点Q_n的横坐标为a_n．
（Ⅰ）试求数列{a_n}的通项公式a_n；（用k的代数式表示）
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）求证：（注：）．

Answer

（Ⅰ）由曲线C：y=xk，求导得切线斜率，切点Qn的坐标（an，ank），得切线方程，切线过点Pn-1（an-1，0），代入方程，得关于数列{an}项的关系式，变形得出数列{an}为等比数列，可求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）把每一项的分子用错位相减法都化为1，然后用等比数列的前n项和求解．
（Ⅲ）先求出的表达式，进而求得其前n项和的表达式，利用错位相减法即可证明＜k-1，进而可以证明．
【解析】
（Ⅰ）∵y=xk
∴y'=kxk-1，若切点是Qn（an，ank），
则切线方程为y-ank=kank-1（x-an）．
当n=1时，切线过点P（1，0），即0-a1k=ka1k-1（1-a1），得
当n＞1时，切线过点Pn-1（an-1，0），即0-ank=kank-1（an-1-an），解得．
∴数列{an}是首项为，公比为的等比数列，
故所求通项．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知．
∴==Cn+Cn1+Cn2+…+Cnn≥Cn+Cn1=1+；
（Ⅲ）设Sn=，
则，
两式相减得（1-）Sn=+…+-＜+…+；
∴Sn＜＜k-1，
故Sn＜k2-k．（14分）