Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=AC，F为BB₁上一点，BF=BC=2，FB₁=1，D为BC中点，E为线段AD上不同于点A、D的任意一点．
（I）证明：EF⊥FC₁；
（II）若AB=，求DF与平面FA₁C₁所成的角．

Answer

（1）要证C1F⊥EF，只需证明C1F⊥平面DEF，由AB=AC，，D为BC的中点可得AD⊥BC，由BB1⊥平面ABC  可得BB1⊥AD，由AD⊥平面B1BCC1  可得AD⊥FC1，然后根据已知可证C1F⊥FD，根据线面垂直的判定定理
可得
（2）设DF与平面FA1C1所成的角为θ，点D到FA1C1的距离为h，利用等体积法可求h，由可求
【解析】
（1）AB=AC，，D为BC的中点∴AD⊥BC
∵BB1⊥平面ABC∴BB1⊥AD
∴AD⊥平面B1BCC1∴AD⊥FC1
∵BC=BF=2∴DB=1，又 FB1=1
∴Rt△DBF∽Rt△FB1C1∴，
∴C1F⊥FD∵FD∩AD=D
∴C1F⊥平面DEF∴C1F⊥EF
（2）设点D到FA1C1的距离为h
由（1）知C1F⊥FD
用等体积法可知
∴∴
设DF与平面FA1C1所成的角为θ
则=
∴DF与平面FA1C1所成的角