Question

已知抛物线x²=2py（p＞0）的焦点为F，过F的直线交抛物线于A、B的两点，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．
（Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），试用x₁，x₂表示点M的坐标．
（Ⅱ）是否为定值，如果是，请求出定值，如果不是，请说明理由．
（III）设△ABM的面积为S，试确定S的最小值．

Answer

（Ⅰ）求导，得出两点处切线的斜率，写出两直线的点斜式方程，求出其交点即得；
（Ⅱ）由题意，表示出两向量），=（，-），=（x2-x1，y2-y1）=（x2-x1，），的坐标，求其内积即可．
（III）根据几何位置关系表示出三角形的面积，再根据基本不等式求出最值及最值成立的条件即可．
【解析】
由x2=2py，得，故，切线AM的方程为，即①，
切线BM的方程为：即②
由①②联立解得M的坐标是（，）
（2）F（0，），=（，-），=（x2-x1，y2-y1）=（x2-x1，），
•=+（-）③
由A，B，F三点共线得kAF=kBF∴，将y1=，代入整理得x1x2=-p2④，
把④代入③得•=0
（3）由（2）知FM⊥AB，故△ABM的面积为S=AB×FM=（，）=（+p）
∵x12+x22≥2|x1x2|
∴x12+x22≥2p2（当且仅当x1=-x2时等号成立）
∴S的最小值是