Question

已知P（x，y）为函数y=lnx图象上一点，O为坐标原点．记直线OP的斜率k=f（x）．
（I）同学甲发现：点P从左向右运动时，f（x）不断增大，试问：他的判断是否正确？若正确，请说明理由：若不正确，请给出你的判断．
（Ⅱ）求证：当x＞1时，f（x）．
（III）同学乙发现：总存在正实数a、b（a＜b），使a^b=b^a．试问：他的判断是否正确？若不正确，请说明理由：若正确，请求出a的取值范围．

Answer

（I）同学甲的判断不正确．，当x∈（0，e）时，f′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，e]上递增，在[e，+∞）递减．
（Ⅱ）f（x）-=，记，，g（x）在（1，+∞）为减函数，由此能够证明f（x）．
（III）同学乙的判断正确．，且，，当x→∞时，f（x）→0，由此能求出求出a的取值范围．
【解析】
（I）同学甲的判断不正确．
依题意，f（x）=，，
当x∈（0，e）时，f′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，e]上递增，在[e，+∞）递减．
（Ⅱ）f（x）-=，
记，
，
∴g（x）在（1，+∞）为减函数，
则g（x）=lnx-，
∴，即f（x）．
（III）同学乙的判断正确．
∵，且，
又由（2），
∴当x→∞时，f（x）→0，
∴总存在正实数a，b，且1＜a＜e＜b，使得f（a）=f（b），即，∴ab=ba，此时1＜a＜e．