Question

已知函数f（x）=ax-lnx．（a为常数）
（1）当a=1时，求函数f（x）的最值；
（2）求函数f（x）在[1，+∞）上的最值；
（3）试证明对任意的n∈N^*都有．

Answer

（1）把a=1代入求出其导函数，得出其在定义域上的单调性即可求出函数f（x）的最值；
（2）先求出其导函数，通过讨论a的取值得出函数在[1，+∞）上的单调性，进而求出函数f（x）在[1，+∞）上的最值；
（3）先由（1）知对任意的x∈（0，+∞）都有x-lnx≥1，即x-1≥lnx，再令x=代入x-1≥lnx即可证明结论．
【解析】
（1）当a=1时，函数f（x）=x-lnx，，x∈（0，+∞）
∵，令f'（x）=0得x=（12分）
∵当x∈（0，1）时，f'（x）＜0∴函数f（x）在（0，1）上为减函数
∵当x∈（1，+∞）时f'（x）＞0∴函数f（x）在（1，+∞）上为增函数
∴当x=1时，函数f（x）有最小值，f（x）最小值=f（1）=1（4分）
（2）∵，
若a≤0，则对任意的x∈[1，+∞）都有f'（x）＜0，∴函数f（x）在[1，+∞）上为减函数
∴函数f（x）在[1，+∞）上有最大值，没有最小值，f（x）最大值=f（1）=a；（6分）
若a＞0，令f'（x）=0得
当0＜a＜1时，，当时f'（x）＜0，函数f（x）在上为减函数
当时f'（x）＞0∴函数f（x）在上为增函数
∴当时，函数f（x）有最小值，（8分）
当a≥1时，在[1，+∞）恒有f'（x）≥0
∴函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，函数f（x）在[1，+∞）有最小值，f（x）最小值=f（1）=a．（9分）
综上得：当a≤0时，函数f（x）在[1，+∞）上有最大值，f（x）最大值=a；
当0＜a＜1时，函数f（x）有最小值，；
当a≥1时，函数f（x）在[1，+∞）有最小值，f（x）最小值=a．（10分）
（3）证明：由（1）知函数f（x）=x-lnx在（0，+∞）上有最小值1
即对任意的x∈（0，+∞）都有x-lnx≥1，即x-1≥lnx，（12分）
当且仅当x=1时“=”成立
∵n∈N*∴且
∴
∴对任意的n∈N*都有．（14分）