Question

设a₁，a₂，…，a_n（n≥4）是各项均不为零的等差数列，且公差d≠0．设α（n）是将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）为等比数列的最大的n值，则α（n）=（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7

Answer

先看当n=4时，将此数列删去某一项得到的数列（按照原来的顺序）是等比数列．如果删去a1，或a4，则等于有3个项既是等差又是等比．可以证明在公差不等于零的情况下不成立，进而推断删去的是a2，或a3．如果删去的是a2，根据等差数列的通项公式代入a1：a3=a3：a4，求得=-4．同理如果如果删去的是a3，求得=1，再看当n=5时，由（1）知道，a1．a5不能删．如果删去a2，则a3，a4，a5既是等差又是等比，不成立．同样a4不能删．如果删去a3，根据等差数列通项公式和a1：a2=a4：a5，代入发现不成立，进而推断n＞5时也不成立，进而推断n只能是4．
【解析】
（1）当n=4时
有a1，a2，a3，a4．
将此数列删去某一项得到的数列（按照原来的顺序）是等比数列．
如果删去a1，或a4，则等于有3个项既是等差又是等比．
可以证明在公差不等于零的情况下不成立
（a-d）：a=a：（a+d）
a2=a2-d2
所以d=0
可以知道删去的是a2，或a3．
如果删去的是a2，
a1：a3=a3：a4
a1（a1+3d）=（a1+2d）2
3a1d=4a1d+4d2
4d2+a1*d=0
4d+a1=0
=-4．
如果删去的是a3，
a1：a2=a2：a4
a1（a1+3d）=（a1+d）2
3a1d=2a1d+d2
a1d=d2
a1=d
=1．
可得=-4或1．
（2）n=5时，由（1）知道，a1．a5不能删．
如果删去a2，
则a3，a4，a5既是等差又是等比，不成立．
同样a4不能删．
如果删去a3，
a1：a2=a4：a5
a1a5=a2a4
（a3-2d）（a3+2d）=（a3-d）（a3+d）
a32-4d2=a32-d2
不成立．
所以n只能为4．
故选A