Question

在等腰梯形ABCD中，AB=3，AD=BC=2，CD=1，E为AB上的点且AE=1，将△AED沿DE折起到A₁ED的位置，使得二面角A₁-CD-E的平面角为
30°．
（1）求证：DE⊥A₁B；
（2）求二面角B-A₁C-D的余弦值．

Answer

（1）由题设条件与图，可先证DE⊥面A1EB再有线面垂直证DE⊥A1B；
（2）如图建立空间直角坐标系，设E1A与X轴所的角为θ，给出各点的坐标，设出两个半平面的法向量，由公式求出两个半平面的法向量，再由公式求出二面角B-A1C-D的余弦值
【解析】
（1）证明：如左图，因为在等腰梯形ABCD中，AB=3，CD=1，AE=1，所以DE⊥AB，∴如右图中，DE⊥A1E，DE⊥BE，∴DE⊥面A1EB，，故DE⊥A1B，
（2）如图建立空间直角坐标系，设E1A与X轴所的角为θ，则A1（cosθ，-sinθ，0），B（0，2，0），C（0，1，）D（0，0，），设平面A1CD的法向量为=（x，y，z），平面BCDE的法向量为=（1，0，0），则
令z=1，则=（），∵cos＜＞=，∴=，解得cosθ=1，即θ=0
此时，点A1在X轴上，A1（1，0，0），=（-1，2，0），=（，0，1），设平面A1BC的法向量为=（x，y，z），则
，令y=1，得=（2，1，），故cos＜＞==
结合图形，可得二面角B-A1C-D为钝角，故二面角的余弦值为-