Question

已知定义在实数集上的函数f_n（x）=xⁿ，n∈N^*，其导函数记为f_n′（x），且满足：为常数．
（I）试求λ的值；
（II）设函数f_2n-1（x）与f_n（1-x）的乘积为函数F（x），求F（x）的极大值与极小值；
（III）若g_n（x）=e^x•f_n（x），试证明关于x的方程在区间（0，2）上有唯一实数根；记此实数根为x（n），求x（n）的最大值．

Answer

（1）利用求导公式求函数的导数，令n=2，代入等式求λ，
（2）利用导数公式求函数的导数，画图求函数的单调性，根据导数求极值，
（3）利用导数求导和利用数学归纳法，在当a=1时和当a≥2时的条件下证明
【解析】
（1）f′2（x）=2x，∴2[x1+（x2-x1）]=（x22-x12）/（x2-x1）
∴x2+x1=2x1+（x2-x1）⇒λ=2
（2）令y=F（X）=f′2n-1（x）•fn（1-x）=（1-x）n•x2n-1，则
①当n=1时，y=x-x2，y′=1-2x，令y′=o，得x=，x∈{-∞，}，y′＞0
x∈{，+∞}，y′＜0，所以，当x=时，y极大=，无极小值
②当n≥2时，y′=-n（1-x）n•x2n-1+（2n-1）x（2n-2）．（1-x）n=x2n-1．（1-x）n[（2n-1）-（3n-1）x]
令y′=0则x1=0，x2=，x3=1且x1＜x2＜x3
①当n为正偶数时，随x的变化，y′和y的变化如下：