Question

已知函数f（x）=e^xlnx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设x＞0，求证：f（x+1）＞e^2x-1；
（3）设n∈N^*，求证：ln（1×2+1）+ln（2×3+1）+…+ln[n（n+1）+1]＞2n-3．

Answer

由题意（1）有函数解析式可以先求出函数的定义域，再对函数求导，令导函数大于0解出函数的单调递增区间，令导函数小于0解出函数的减区间；
（2）利用分析法分析出要证明的等价的不等式令，由，得出函数等价求解函数在定义域上的最小值即可求得；
（3）有（2）得，即，然后把x被k（k+1）代替，即可．
【解析】
（1）定义域为（0，+∞），由f′（x）=exlnx（lnx+1），
令．
故f（x）的增区间：，减区间：，
（2）即证：
令，由，
令g′（x）=0，得x=2，且g（x）在（0，2）↓，在（2，+∞）↑，所以g（x）min=g（2）=ln3-1，
故当x＞0时，有g（x）≥g（2）=ln3-1＞0得证，
（3）由（2）得，即，
所以，
则：ln（1×2+1）+ln（2×3+1）+…+ln[（n（n+1）]+1=．