Question

已知f（x）是R上的偶函数，将f（x）的图象向右平移一个单位后，得到一个奇函数的图象，且 f（2）=-2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2001）=（ ）
A．0
B．2
C．-2
D．-4022

Answer

由于f（x）是R上的偶函数，所以该函数有对称轴x=0，函数f（x）在右移之前有对称中心（-1，0），故函数f（x）存在周期T=4，在利用题中的条件得到函数在一个周期内的数值，利用周期性即可求解．
【解析】
∵f（x）是R上的偶函数，∴图象关于y轴对称，即该函数有对称轴x=0，
又∵将f（x）的图象向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象，
由于奇函数的图象关于原点对称，此点是由函数f（x）的图象的对称中心右移一个单位得到
∴函数f（x）的图象有对称中心（-1，0），即f（-1）=0，
因为f（-x）=f（x），f（-x-1）=-f（x-1），
∴f（x+1）=-f（x-1），即f（x+1）=f（x-3），
∴函数f（x）存在周期T=4，又f（2）=-2，f（-1）=0，
利用条件可以推得：f（-1）=f（1）=0，f（2）=-2，f（3）=f（4-1）=0，
f（-3）=f（3）=0，f（4）=f（0）=2，所以在一个周期中f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，
所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2001）=f（0）=0．
故选A．