Question

已知如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=，AB=BC=2AD=2，E、F分别是线段AB、CD上的动点且EF∥BC，G是BC的中点．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD丄平面EBCF （如图2）．

（1）当AE为何值时，有BD丄EG？
（2）设AE=x，以F、B、C、D为顶点的三梭锥的体积记为f（x），求f（x）的最大值；并求此时二面角D-BF-C的余弦值．

Answer

（1）以点E为坐标原点，射线EB为X轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系E-XYZ，设AE=x，得出各点的坐标，表示出BD与EG对应的向量，令它们的内积为0建立方程，求出x的值，得出两直线垂直的条件；
（2）先由体积公式计算出f（x），，利用基本不等式求出函数的最大值据等号成立的条件得到AE的值，由此得到有关各点的坐标，设出法向量，求出两个半平面的法向量由公式求出夹角的余弦即可
【解析】
（1）以点E为坐标原点，射线EB为X轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系E-XYZ，设AE=x，则E（0，0，0），B（2-x，0，0），D（0，1，x），G（2-x，1，0），
∴，，
∵BD丄EG，
∴=0，即（x-2）（2-x）+1=0，解得x=1或x=3，
又在图1中AB=2，
∴x=1，故AE=1时有BD丄EG；
（2）∵AD∥面BEC，
∴f（x）=VD-BCF=VA-BCF=×S△BCF×AE=≤×=．
设平面DBF的法向量为，
∵AE=1，B（1，0，0），D（0，1，1），F（0，，0），
∴，=（-1，1，1），则，即，令y=2，得，
∵AE⊥面BCF，
∴面BCF的一个法向量为，则cos＜＞==，
由于所求的二面角D-BF-C的平面角是钝角，所以此二面角的余弦值为-