Question

命题“若过双曲线-y²=1的一个焦点F作与x轴不垂直的直线交双曲线于A、B两点，线段AB的垂直平分线交X轴于点M则为定值，且定值为．
（1）试类比上述命题，写出一个关于椭圆C：+=1的类似的正确命题，并加以证明；
（2）试推广（1）中的命题，给出关于圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的统一的一般性命题（不证明）．

Answer

（1）关于椭圆C的类似命题是：过椭圆的一个焦点F2（4，0）作与x轴不垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则为定值，且定值为．
证明：设直线l为：y=k（x-4），当k=0时，l与x轴重合，|AB|=10，|FM|=4，．当k≠0时，由，得（25k2+9）x2-8×25k2+25（16k2-9）=0，由根的判别式和韦达定理知AB的垂直平分线方程为：，由此能够证明．
（2）过圆锥曲线E的一个焦点F作与x轴不垂直的直线交曲线E于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，由此知则为定值．
【解析】
（1）关于椭圆C的类似命题是：
过椭圆的一个焦点F2（4，0）作与x轴不垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则为定值，且定值为．
证明：由于l与x轴不垂直，设直线l为：y=k（x-4），
①当k=0时，l与x轴重合，|AB|=10，|FM|=4，．
②当k≠0时，由，
消去y，得（25k2+9）x2-8×25k2+25（16k2-9）=0，
△=（8×25k2）2-4×25（25k2+9）（16k2-9）=4×25×92（k2+1），
设A（x1，y1），B（x2，y2），
AB中点N（x，y），
则，
∴=，
AB的垂直平分线方程为：，
令y=0，解得x=，
∴，
∴，

=，
∴．
（2）过圆锥曲线E的一个焦点F作与x轴不垂直的直线交曲线E于A、B两点，
线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则为定值，且定值为．