Question

如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为DD₁、DB的中点．
（I）求证：EF⊥B₁C；
（II）求二面角E-FC-D的正切值；
（III）求三棱锥F-EDC的体积．

Answer

（I）由已知中在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点我们可由B1C⊥AB，B1C⊥BC1，得到B1C⊥平面ABC1D1，进而B1C⊥BD1，再由中位线定理即可得到EF⊥B1C；
（II）CF⊥BD，DD1⊥CF，结合线面垂直的判定定理可得DD1⊥平面ABCD，进而可得CF⊥平面BDD1B1，则∠EFD为二面角E-FC-D的平面角，解三角形EFD，即可求出二面角E-FC-D的正切值；
（III）由VF-EDC=VE-FDC，我们求出三棱锥的底面面积和高，代入棱锥的体积公式，即可得到答案．
证明：（I）由正方体的几何特征可得：
∵B1C⊥AB，B1C⊥BC1，AB∩B1C=B
∴B1C⊥平面ABC1D1，
∴B1C⊥BD1，
又∵EF∥BD1，
∴EF⊥B1C．…（6分）
（II）∵点F为DB的中点，且ABCD为正方形，
∴CF⊥BD．
又DD1⊥平面ABCD，
∴DD1⊥CF．
而DD1∩DB=D，
∴CF⊥平面BDD1B1．
又EF⊂平面BDD1B1，
∴CF⊥EF，故∠EFD为二面角E-FC-D的平面角．
在Rt△EFD中，DE=1，DF=，
∴tan∠EFD==．
因而二面角二面角E-FC-D的正切值为． …（9分）
（III）∵DE=1，FC=DF=，
∴VF-EDC=VE-FDC=×DE××DF×FC=．