Question

如果函数f（x）对任意的实数x，存在常数M，使得不等式|f（x）|≤M|x|恒成立，那么就称函数f（x）为有界泛函数，下面四个函数：①f（x）=1；②f（x）=x²；③f（x）=（sinx+cosx）x；④
其中属于有界泛函数的是（ ）
A．①②
B．①③
C．③④
D．②④

Answer

根据有界泛函数的定义，逐个验证，对于①取x=0，即可说明①不是有界泛函数；对于②采取反证法，f（x）=x2是有界泛函数，则x2≤M|x|，取x=M+1，得到矛盾，因此②不是有界泛函数；对于③利用三角函数的有界性即可证明③是有界泛函数；对于④求函数的最大值即可证明④是有界泛函数；从而得到选项．
【解析】
函数f（x）对任意的实数x，存在常数M，使得不等式|f（x）|≤M|x|恒成立，那么就称函数f（x）为有界泛函数，
∴①取x=0，则|f（x）|=1，|x|=0，故不存在常数M，使得不等式|f（x）|≤M|x|成立，因此①不是有界泛函数；
②若f（x）=x2是有界泛函数，则x2≤M|x|，取x=M+1，则有（M+1）2＞M（M+1），故与假设矛盾，因此②不是有界泛函数；
③f（x）=（sinx+cosx）x≤，故③是有界泛函数；
④≤，故④是有界泛函数；
故选C．