Question

已知四棱锥P-ABCD的三视图如右图．该棱锥中，PA=AB=1，PD与平面ABCD所成角是30°，点F是PB的中点，点E在棱BC上移动．
（I）画出该棱锥的直观图并证明：无论点E在棱BC的何处，总有PE⊥AF；
（II）当BE等于何值时，二面角P-DE-A的大小为45°．

Answer

（I）由题意，根据三视图作出其对应的直观图，再由点E在棱BC满足PE⊥AF，利用线面垂直证明线线垂直即可确定点E的位置；
（II）二面角P-DE-A的大小为45°是一个方程，本题用向量法做，先建立起分别以AB、AD、AP为坐标轴建立空间直角坐标系，计算出各点的坐标，求出两个平面的法向量，用向量表示出二面角，再由二面角为45°建立方程求出参数的值，即可得BE
【解析】
（I）直观图如下（AF，PE不必作出）
在四棱锥P-ABCD中，由题知：PA⊥面ABCD，四边形ABCD是矩形，所以∠PDA是PD与底面ABCD所成角，从而∠PDA=30°，
又∵BC⊥AB，BC⊥PA，AB与PA相交于点A．
∴BC⊥面PAB，
∴BC⊥AF，
∵PA=AB=1，F是PB的中点，
∴AF⊥面PBC，又BP∩BC=B，PE⊂平面PBC
所以PE⊥AF
（II）分别以AB、AD、AP为坐标轴建立空间直角坐标系，则有P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，，0），D（0，，0），F（，0，）
设E（1，t，0），其中t∈[0，），则，向量=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，
设是平面PED的一个法向量，则有得
令z=，得y=1，x=-t，所以，从而有
，由=||得，解得t=（t=舍）
故当t=时，二面角P-DE-A的大小为45°