Question

已知函数f（x）=-x³+ax²+bx+c在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，函数f（x）在R上有三个零点，且1是其中一个零点．
（1）求b的值；
（2）求f（2）的取值范围；
（3）试探究直线y=x-1与函数y=f（x）的图象交点个数的情况，并说明理由．

Answer

（1）根据题意求出f′（x）由已知可知f（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，则x=0时，f（x）取到极小值，即f'（0）=0．求出b即可；
（2）由（1）得到f（x）的解析式，因为1是函数f（x）的一个零点，即f（1）=0，推出c=1-a，又f'（x）=-3x2+2ax=0的两个根分别为x1=0，．f（x）在（0，1）上是增函数，且函数f（x）在R上有三个零点，求出a的取值范围，求出f（2）的取值范围即可．
（3）要求直线y=x-1与函数y=f（x）的图象交点个数，需要把两个解析式联立求公共解，公共解有几个交点就有几个，再讨论a的取值范围，分不同情况讨论出交点个数即可．
【解析】
（1）【解析】
∵f（x）=-x3+ax2+bx+c，
∴f'（x）=-3x2+2ax+b．
∵f（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，
∴当x=0时，f（x）取到极小值，即f'（0）=0．∴b=0．
（2）【解析】
由（1）知，f（x）=-x3+ax2+c，
∵1是函数f（x）的一个零点，即f（1）=0，∴c=1-a．
∵f'（x）=-3x2+2ax=0的两个根分别为x1=0，．
∵f（x）在（0，1）上是增函数，且函数f（x）在R上有三个零点，
∴，即．
∴．
（3）【解析】
由（2）知f（x）=-x3+ax2+1-a，且．
要讨论直线y=x-1与函数y=f（x）图象的交点个数情况，
即求方程组
解的个数情况：由-x3+ax2+1-a=x-1，得（x3-1）-a（x2-1）+（x-1）=0．
即（x-1）（x2+x+1）-a（x-1）（x+1）+（x-1）=0．
即（x-1）[x2+（1-a）x+（2-a）]=0．∴x=1或x2+（1-a）x+（2-a）=0．
由方程x2+（1-a）x+（2-a）=0，（*）
得△=（1-a）2-4（2-a）=a2+2a-7．∵，
若△＜0，即a2+2a-7＜0，解得．此时方程（*）无实数解．
若△=0，即a2+2a-7=0，解得．此时方程（*）有一个实数解．
若△＞0，即a2+2a-7＞0，解得．
此时方程（*）有两个实数解，分别为
，．
且当a=2时，x1=0，x2=1．
综上所述，当时，直线y=x-1与函数y=f（x）的图象有一个交点．
当或a=2时，直线y=x-1与函数y=f（x）的图象有二个交点．
当且a≠2时，直线y=x-1与函数y=f（x）的图象有三个交点．