Question

设a为非零实数，则关于函数f（x）=x²+a|x|+1，x∈R的以下性质中，错误的是（ ）
A．函数f（x）一定是个偶函数
B．函数f（x）一定没有最大值
C．区间[0，+∞）一定是f（x）的单调递增区间
D．函数f（x）不可能有三个零点

Answer

根据偶函数的定义，判断f（-x）=f（x）则函数为偶函数；根据函数图象开口向上，函数没有最大值；取特殊值法，然后结合函数图象，判定单调递增区间；把函数转化成方程解的问题解答即可．
【解析】
（1）∵-x∈R
∴f（-x）=（-x）2+a|-x|+1=x2+a|x|+1=f（x）
∴函数f（x）一定是个偶函数．
（2）∵二次函数f（x）=x2+a|x|+1，开口向上，所以函数f（x）一定没有最大值．

（3）令a=-2，则f（x）=x2-2|x|+1画出如上图所示的函数图象，可知在区间[0，∞]不是f（x）的单调递增区间，所以C项错误．
（4）方程x2+ax+1=0，△=a2-4≥-4，此方称可能无解、一个解或者两个解，所以函数f（x）=x2+a|x|+1可能无零点、两个零点、或者四个零点．
故选C．