Question

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为1，高为h（h＞2），动点M在侧棱BB₁上移动．设AM与侧面BB₁C₁C所成的角为θ．
（1）当时，求点M到平面ABC的距离的取值范围；
（2）当时，求向量与夹角的大小．

Answer

（1）先设BC的中点为D，连接AD，DM，根据题中条件以及BB1⊥平面ABC得到AD⊥平面BB1CC1．进而得到∠AMD即为AM与侧面BCC1所成角θ；然后在Rt△ADM，利用角θ来求点M到平面ABC的距离的取值范围即可；
（2）先由第一问得BM=；然后再把转化为，求出即可表示出向量与夹角的大小．
【解析】
（1）设BC的中点为D，连接AD，DM，则有
⇒AD⊥BC   ①
BB1⊥平面ABC⇒AD⊥BB1   ②
由①②得AD⊥平面BB1CC1．
于是，可知∠AMD即为AM与侧面BCC1所成角θ．
因为点M到平面ABC的距离为BM，设BM=x，x∈（0，h）．
在Rt△ADM中，tan∠AMD=．
由AD=，DM==，
故tanθ=．而当θ∈[]时．tanθ∈[，1]．
即≤1⇔3≤1+4x2≤9⇔≤x2≤2．
所以，点M到平面ABC的距离BM的取值范围是：[]．
（2）：当θ=时，由第一问得BM=．
故可得DM=，AM==．
设与的夹角为α．
因为=（+）=
=1×1×cos120°+0=-．
所以cosα=
故向量与的夹角大小为：π-arccos．