Question

平面直角坐标系xOy中，已知A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），…，A_n（x_n，y_n）是直线l：y=kx+b上的n个点
（n∈N^*，k、b均为非零常数）．
（1）若数列{x_n}成等差数列，求证：数列{y_n}也成等差数列；
（2）若点P是直线l上一点，且，求a₁+a₂的值；
（3）若点P满足，我们称是向量，，…，的线性组合，{a_n}是该线性组合的系数数列．当是向量，，…，的线性组合时，请参考以下线索：
①系数数列{a_n}需满足怎样的条件，点P会落在直线l上？
②若点P落在直线l上，系数数列{a_n}会满足怎样的结论？
③能否根据你给出的系数数列{a_n}满足的条件，确定在直线l上的点P的个数或坐标？
试提出一个相关命题（或猜想）并开展研究，写出你的研究过程．[本小题将根据你提出的命题（或猜想）的完备程度和研究过程中体现的思维层次，给予不同的评分]．

Answer

（1）若设等差数列{xn}的公差为d，易得yn+1-yn为常数，即证数列{yn}是等差数列；
（2）由点P、A1和A2都是直线l上的点，知=λ（其中λ≠-1）；由向量的线性运算，得=+=+=+λ；整理可得=+；即得a1+a2的值；
（3）设存在点P（x，y）满足=a1+a2+…+an，则x=a1x1+a2x2+…+anxn，当i+j=n+1时，有ai=aj，所以x=anx1+an-1x2+…+a2xn-1+a1xn，则2x=a1（x1+xn）+a2（x2+xn-1）+…+an（xn+x1），由数列{xn}是等差数列，则x1+xn=x2+xn-1=…=xn+x1，可得2x，从而得x，同理得y；即得点P在直线l上．
【解析】
（1）证明：设等差数列{xn}的公差为d，因为yn+1-yn=（kxn+1+b）-（kxn+b）=k（xn+1-xn）=kd是常数，
∴数列{yn}等差数列．
（2）因为点P、A1和A2都是直线l上一点，故有=λ（其中λ≠-1）；
于是，=+=+=+λ；
∴=+λ，即=+；
令a1=，a2=，则有a1+a2=1．
（3）假设存在点P（x，y）满足=a1+a2+…+an，
则有x=a1x1+a2x2+…+anxn，且当i+j=n+1时，恒有ai=aj，
所以有x=anx1+an-1x2+…+a2xn-1+a1xn，
所以2x=a1（x1+xn）+a2（x2+xn-1）+…+an（xn+x1），
又因为数列{xn}成等差数列，于是x1+xn=x2+xn-1=…=xn+x1，
所以，2x=（a1+a2+…+an）（x1+xn）=x1+xn；
故x=，同理y=，且点P在直线l上（是A1、An的中点），
即存在点P满足要求．