Question

数列{a_n}的前W项和为S_n，且S_n={a_n}数列{c_n}，满足c_n=，
（I）求数列{a_n}的通项公式，并求数列{c_n}的前n项和{T_n}；
（II）张三同学利用第（I）问中的T_n设计了一个程序框图（如图），但李四同学认为这个程序如果被执行将会是一个“死循环”（即程序会永远循环下去，而无法结束）．你是否同意李四同学的观点？请说明理由．

Answer

（I）、根据题中数列{an}的前n项和为Sn，的公式便可推导出数列{an}的通项公式，根据给出的cn的通项公式，分别讨论当n为奇数和偶数时数列{cn}的前n项和{Tn}；
（II）分别讨论当n为偶数和奇数时Tn-P的最终结果为2011，故李四的说法正确，该程序会是一个死循环．
【解析】
（I）当n=1时，a1=S1==2，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（n2+3n-（n-1）2-3（n-1）=n+1，
∴an=n+1（n），当n为偶数时，Tn=（a1+a3+…+an）+（22+24+…+2n）=+（2n-1），
当n为偶数时，Tn=（a1+a3+…+an）+（22+24+…+2n-1）=+（2n-1-1），
∴Tn=；
（II）记Dn=Tn-P，则当n为偶数时，Dn=+（2n-1）--24n=（2n-1）-，
∴Dn+2-Dn=（2n+1-1）--（2n-1）-=2n+2-47，
∴从第四项开始，数列{Dn}的偶数项开始递增，
而D2，D4，…，D10均小于2010，D12＞2010，即n偶数时，Dn=2011，
当n为奇数时，Dn=+（2n-1-1）--24n=（2n-1-1）-23n+，
同理Dn+2-Dn=2n+1-46，
∴从第五项开始，数列{Dn}的奇数项开始递增，
而D1，D3，…，D11均小于2010，D13＞2010，即n偶数时，Dn=2011，
故李四的说法正确．