Question

已知函数：f（x）=alnx-ax-3（a∈R）
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，若函数在区间（t，3）上有最值，求实数m的取值范围；
（3）求证：ln（2²+1）+ln（3²+1）+ln（4²+1）+…+ln（n²+1）＜1+2lnn!（n≥2，n∈N^*）

Answer

（1）先对函数f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．
（2））处的切线的倾斜角为45°，得到f′（2）=1求出a的值代入到 中化简，求出导函数，因为函数在（2，3）上总存在极值得到 解出m的范围记即可；（3）是近年来高考考查的热点问题，即与函数结合证明不等式问题，常用的解题思路是利用前面的结论构造函数，利用函数的单调性，对于函数取单调区间上的正整数自变量n有某些结论成立，进而解答出这类不等式问题的解．
【解析】
（1），
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a=0时，f（x）不是单调函数
（2）因为函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，
所以f′（2）=1，所以a=-2，，
，g′（x）=3x2+（4+m）x-2
因为对于任意的t∈[1，2]，函数 在区间（t，3）上
总存在极值，所以只需 ，解得
（3）令a=-1（或a=1）
此时f（x）=-lnx+x-3，
所以f（1）=-2，
由（1）知f（x）=-lnx+x-3，在[1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即-lnx+x-1＞0，
∴lnx＜x-1对一切x∈（1，+∞）成立，
∵n≥2，n∈N*，
则有，
∴要证ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+…+ln（n2+1）＜1+2lnn!
即要证，
而
=1-＜1．