Question

如图，△ABD和△BCD都是等边三角形，E、F、O分别是AD、BD、AC的中点，G是OC的中点；
（1）求证：BD⊥FG；
（2）求证：FG∥平面BOE．

Answer

（1）连接AF和CF，根据F为BD的中点，△ABD和△BCD都是等边三角形，进而可知BD⊥AF，BD⊥CF，同时AF∩CF=F，进而根据线面垂直的判定定理可知BD⊥平面AFC，则可推断出BD⊥FG．
（2）设BE和AF交于点H，连接OH，在等边三角形△ABD中，E、F分别是AD、BD的中点，则可推断出H为重心，根据重心的性质可推断出，同时O为AC中点，G是OC的中点，进而可推断出根据比例线段的性质可知HO∥FG，最后根据FG∉平面BOE，HO⊂平面BOE，推断出FG∥平面BOE．
证明：（1）连接AF和CF，因为F为BD的中点，△ABD和△BCD都是等边三角形，
所以BD⊥AF，BD⊥CF，
又AF∩CF=F，
所以BD⊥平面AFC，
又FG⊂平面AFC，
所以BD⊥FG．
（2）设BE和AF交于点H，连接OH，
在等边三角形△ABD中，E、F分别是AD、BD的中点，
所以H为重心，，
又O为AC中点，G是OC的中点，
所以，
在三角形AFG中，，
所以HO∥FG，
又FG∉平面BOE，HO⊂平面BOE，
所以FG∥平面BOE．