Question

在平行四边形ABCD中，设∠DAB=α，∠CAB=β，已知，，其中；
（1）求cosγ的值；
（2）求sin（β+2γ）的值．

Answer

（1）利用平行四边形边之间的关系及向量数量积的运算法则求出∠DAB，据三角函数的平方公式求出γ-α的正弦，通过凑角将角γ用角α和角γ-α表示，利用和角公式求出cosγ
（2）利用三角形中的余弦定理及已知条件判断出平行四边形是菱形，求出角β，求出角β的三角函数，由（1）求出γ的三角函数，利用二倍角公式及和角公式求得．
【解析】
（1）在平行四边形ABCD中，，，
所以，
又已知，
所以，
所以，又∠DAB∈（0，π），
所以，即，
，则，
所以，
=；
（2）在平行四边形ABCD中，有
又在△ABD中，BD2=AD2+AB2-2AD•AB•cos∠DAB，
即有，
即有（AB-AD）2=0，
所以AB=AD，
即平行四边形ABCD为菱形，又，
所以，即，
由（1）得，又，
所以，，=