Question

如图，直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，C₁C=CB=CA=2，AC⊥CB． D、E分别为棱C₁C、B₁C₁的中点．
（1）求点E到平面ADB的距离；
（2）求二面角E-A₁D-B的平面角的余弦值；
（3）在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面A₁DB？若存在，确定其位置；若不存在，说明理由．

Answer

以CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0），D（0，0，1），E（1，0，2）．这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．
（1），，，设平面ADB的法向量为得：可取法向量为，则点E到平面ADB的距离．
（2）A1（0，2，2），E（1，0，2），D（0，0，1）可得，，
设平面A1ED的法向量为，则，平面A1BD的法向量为，则，
所以，即求二面角E-A1D-B的余弦值为．
（3）假设存在点F，坐标为（0，y，0），则，EF⊥平面A1DB得，F（0，1，0），F即为AC中点．
【解析】
（1）如图所示，以CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴建立空间直角坐标系，由C1C=CB=CA=2可得C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0），D（0，0，1），E（1，0，2）．
则，，
设平面ADB的法向量为得
即
则取法向量为，
则点E到平面ADB的距离．（3分）
（2）A1（0，2，2），E（1，0，2），D（0，0，1）
可得，，
设平面A1ED的法向量为，
故可令，A1（0，2，2），D（0，0，1），B（2，0，0），
可得，，
设平面A1BD的法向量为，
故可令，
∴，
即求二面角E-A1D-B的余弦值为；（6分）
（3）假设存在点F，坐标为（0，y，0），
则，
EF⊥平面A1DB得，即，
∴F（0，1，0）F即为AC中点．（10分）