设动点P（x，y）（y≥0）到定点F（0，1）的距离比它到x轴的距离大1，记点P...

设动点P（x，y）（y≥0）到定点F（0，1）的距离比它到x轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设圆M过A（0，2），且圆心M在曲线C上，EG是圆M在x轴上截得的弦，试探究当M运动时，弦长|EG|是否为定值？为什么？

（Ⅰ）由题意知，P的轨迹满足抛物线的定义，故可求出抛物线的焦点，继而求出抛物线方程．（Ⅱ）待定系数法设出圆的方程，设出圆与x轴的两个焦点E，G的坐标，再根据圆心在抛物线上，将圆心坐标代入抛物线，两个式子联立可求出x1-x2是否为定值．【解析】（Ⅰ）依题意知，动点P到定点F（0，1）的距离等于P到直线y=-1的距离，曲线C是以原点为顶点，F（0，1）为焦点的抛物线 ∵ ∴p=2 ∴曲线C方程是x2=4y （Ⅱ）设圆的圆心为M（a，b）， ∵圆M过A（0，2）， ∴圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=a2+（b-2）2 令y=0得：x2-2ax+4b-4=0 设圆与x轴的两交点分别为（x1，0），（x2，0）不妨设x1＞x2，由求根公式得， ∴ 又∵点M（a，b）在抛物线x2=4y上， ∴a2=4b， ∴，即|EG|=4 ∴当M运动时，弦长|EG|为定值4

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考点分析：

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