Question

若函数f（x）=lnx，g（x）=x-．
（1）求函数φ（x）=g（x）-kf（x）（k＞0）的单调区间；
（2）若对所有的x∈[e，+∞]，都有xf（x）≥ax-a成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）先求出函数的定义域，求出导函数φ′（x）=因为x2＞0，要判断φ′（x）的正负就要研究g（x）=x2-kx+2的符号，讨论△的正负即可得到g（x）的正负即可得到φ′（x）的正负，即可得到函数的单调区间．（2）由xf（x）≥ax-a解出a≤，设h（x）=，所以求出h′（x），讨论h（x）的增减性得到h（x）的最小值．让a小于等于最小值即可得到a的范围．
【解析】
（1）函数φ（x）=x--klnx的定义域为（0，+∞）．
φ′（x）=1+-=，记函数g（x）=x2-kx+2，其判别式△=k2-8
①当△=k2-8≤0即0＜k≤2时，g（x）≥0恒成立，
∴φ′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，φ（x）在区间（0，+∞）上递增．
②当△=k2-8＞0即k＞2时，方程g（x）=0有两个不等的实根x1=＞0，x2=＞0．
若x1＜x＜x2，则g（x）＜0，∴φ′（x）＜0，∴φ（x）在区间（x1，x2）上递减；
若x＞x2或0＜x＜x1，则g（x）＞0，∴φ′（x）＞0，∴φ（x）在区间（0，x1）和（x2，+∞）上递增．
综上可知：当0＜k≤2时，φ（x）的递增区间为（0，+∞）；当k＞2时，φ（x）的递增区间为（0，）和（，+∞），递减区间为（，）．
（2）∵x≥e，∴xlnx≥ax-a⇔a≤
令h（x）=，x∈[e，+∞），则h′（x）=
∵当x≥e时，（x-lnx-1）′=1-＞0，
∴函数y=x-lnx-1在[e，+∞）上是增函数，
∴x-lnx-1≥e-lne-1=e-2＞0，h′（x）＞0，
∴h（x）的最小值为h（e）=，
∴a≤．