Question

已知函数y=f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）恒成立．若数列{a_n}满足a₁=f（0），且f（a_n+1）=，则a₂₀₁₀的值为（ ）
A．4016
B．4017
C．4018
D．4019

Answer

根据题意，底数小于1的指数函数符合题中条件，不妨令f（x）=，从而求得a1=f（0）=1，再由（n∈N*），得an+1=an+2，再由等差数列的定义求得结果．
【解析】
根据题意，不妨设f（x）=，（其中x∈R）；则a1=f（0）=1，
∵（n∈N*），∴==，∴an+1=an+2；
∴数列{an}是以1为首项，以2为公差的等差数列；∴an=2n-1，∴a2010=4019．
故选：D．