Question

试问能否找到一条斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆交于两个不同点M，N，且使M，N，且使M，N到点A（0，1）的距离相等，若存在，试求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

设直线l：y=kx+m为满足条件的直线，再设P为MN的中点，欲满足条件，只要AP⊥MN即可．由得（1+3k2）x2+6mkx+3m2-3=0．然后利用韦达定理和根与系数的关系能够推导出当k∈（-1，0）∪（0，1）时，存在满足条件的直线l．
【解析】
设直线l：y=kx+m为满足条件的直线，再设P为MN的中点，欲满足条件，只要AP⊥MN即可
由得（1+3k2）x2+6mkx+3m2-3=0．
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则，∴．∵AP⊥MN∴=，
故．
由△=36m2k2-4（1+3k2）（3m2-3）=9（1+3k2）．（1-k2）＞0，
得-1＜k＜1，且k≠0．
故当k∈（-1，0）∪（0，1）时，存在满足条件的直线l．