Question

设M=2^t+i_t-1×2^t-1+…+i₁×2+i，其中i_k=0或1（k=0，1，2，…，t-1，t∈N⁺），并记M=（1i_t-1i_t-2…i₁i）₂．对于给定的
x₁=（1i_t-1i_t-2…i₁i）₂，构造无穷数列{x_n}如下：x₂=（1ii_t-1i_t-2…i₂i₁）₂，x₃=（1i₁ii_t-1…i₃i₂），x₄=（1i₂i₁ii_t-1…i₃）₂…，
（1）若x₁=109，则x₃=     （用数字作答）；
（2）给定一个正整数m，若x₁=2^2m+2+2^2m+1+2^2m+1，则满足x_n=x₁（n∈N⁺且n≠1）的n的最小值为    ．

Answer

（1）先将x1=109分成26+25+23+22+1从而得到1it-1it-2…i1i的值，然后根据x3=（1i1iit-1…i3i2）2进行求解即可；
（2）根据x1=22m+2+22m+1+22m+1则x1=（1i2m+1i2m…i1i）2，从而x2=（1ii2m+1i2m…i1）2，x3=（1i1ii2m+1i2m…i2）2，依此类推x2m+3=x1=（1i2m+1i2m…i1i）2，从而得到结论．
【解析】
（1）∵x1=109=26+25+23+22+1
∴x1=（1101101）2而x3=（1i1iit-1…i3i2）2=（1011011）2，
∴x3=26+24+23+21+1=91
（2）∵x1=22m+2+22m+1+22m+1
∴x1=（1i2m+1i2m…i1i）2而x2=（1ii2m+1i2m…i1）2，x3=（1i1ii2m+1i2m…i2）2，
当i跑到最后时移动了2m+2次，此时x2m+3=x1，
满足xn=x1（n∈N+且n≠1）的n的最小值为2m+3
故答案为：91、2m+3