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已知函数f(x)=x2-ax-aln(x-1)(a∈R) (1)当a=1时,求函...

已知函数f(x)=x2-ax-aln(x-1)(a∈R)
(1)当a=1时,求函数f(x)的最值;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)试说明是否存在实数a(a≥1)使y=f(x)的图象与manfen5.com 满分网无公共点.
(1)先求出函数的定义域,再把a=1代入求出其导函数以及单调区间,即可求出函数f(x)的最值; (2)先求出函数的导函数,再利用分类讨论思想讨论导函数对应方程根的大小,进而求出函数f(x)的单调区间; (3)先由(2)得f(x)在(1,+∞)的最小值为,再求出在[1,+∞)上的最大值,让其与的值相比较即可求得结论. 【解析】 (1)函数f(x)=x2-ax-aln(x-1)(a∈R)的定义域是(1,+∞) 当a=1时,,所以f(x)在为减函数 在为增函数,所以函数f(x)的最小值为=. (2), 若a≤0时,则,f(x)=>0在(1,+∞)恒成立,所以f(x)的增区间为(1,+∞). 若a>0,则,故当,f′(x)=≤0, 当时,f(x)=≥0, 所以a>0时f(x)的减区间为,f(x)的增区间为 (3)a≥1时,由(2)知f(x)在(1,+∞)的最小值为, 令=在[1,+∞)上单调递减, 所以,则>0, 因此存在实数a(a≥1)使f(x)的最小值大于, 故存在实数a(a≥1)使y=f(x)的图象与无公共点
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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