Question

对定义域分别是F、G的函数y=f（x）、y=g（x），规定：函数h（x）=

已知函数f（x）=x²，g（x）=alnx（a∈R）．
（1）求函数h（x）的解析式；
（2）对于实数a，函数h（x）是否存在最小值，如果存在，求出其最小值；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）先求出两个函数各自的定义域，再代入分段函数的表达式即可求出函数h（x）的解析式；
（2）先求出第二段的最小值，再对第一段中的字母a分与0的三种关系分别讨论求出其最小值，再与第二段的最小值相比，最小的那个即为函数h（x）的最小值．
【解析】
（1）因为函数f（x）=x2的定义域F=（-∞，+∞），函数g（x）=alnx的定义域G=（0，+∞），
所以h（x）=（4分）
（2）当x≤0时，函数h（x）=x2单调递减，
所以函数h（x）在（-∞，0]上的最小值为h（0）=0．（5分）
当x＞0时，h（x）=x2+alnx．
若a=0，函数h（x）=x2在（0，+∞）上单调递增．此时，函数h（x）不存在最小值．（6分）
若a＞0，因为，（7分）
所以函数h（x）=x2+alnx在（0，+∞）上单调递增．此时，函数h（x）不存在最小值．（8分）
若a＜0，因为，（9分）
所以函数h（x）=x2+alnx在上单调递减，在上单调递增．此时，函数h（x）的最小值为．（10分）
因为，（11分）
所以当-2e≤a＜0时，，当a＜-2e时，．（13分）
综上可知，当a＞0时，函数h（x）没有最小值；
当-2e≤a≤0时，函数h（x）的最小值为h（0）=0；
当a＜-2e时，函数h（x）的最小值为．（14分）