Question

已知四面体ABCD（图1），沿AB、AC、AD剪开，展成的平面图形正好是图2所示的直角梯形A₁A₂A₃D（梯形的顶点A₁、A₂、A₃重合于四面体的顶点A）．
（1）证明：AB⊥CD．
（2）当A₁D=10，A₁A₂=8时，求四面体ABCD的体积．

Answer

（1）要证AB⊥CD，先证AB⊥面ACD，在其展成的平面图形中A1B⊥A1D，A2B⊥A2C，从而AB⊥AC，AB⊥AD，可得线面垂直，即可得线线垂直．
（2）要求四面体ABCD的体积，先确定其底面和高线，然后分别求其值，利用三棱锥的体积公式，即可得其体积．
【解析】

（I）证明：由图2，A1A2A3D为直角梯形，
得A1B⊥A1D，A2B⊥A2C．
即图1中，AB⊥AC，AB⊥AD．
又AC∩AD=A，∴AB⊥面ACD．
∵CD⊂面ACD，∴AB⊥CD．
（II）在图2中，作DE⊥A2A3于E，
∵A1A2=8，∴DE=8，
又∵A1D=A3D=10，∴EA3=6，∴A2A3=10+6=16．
而A2C=A3C，∴A2C=8，即图1中AC=8，AD=10．
由A1A2=8，A1B=A2B，得图1中AB=4．
．
由（I）知，AB⊥面ACD，∴．