Question

已知△ABC的边AB边所在直线的方程为x-3y-6=0点B关于点M（2，0）的对称点为C，点T（-1，1）在AC边所在直线上且满足．
（I）求AC边所在直线的方程；
（II）求△ABC的外接圆的方程；
（III）若点N的坐标为（-n，0），其中n为正整数．试讨论在△ABC的外接圆上是否存在点P，使得|PN|=|PT|成立？说明理由．

Answer

（I）由已知中可得AC⊥AB，结合T点坐标及AB的方程为x-3y-6=0点，我们易求出AC边所在直线的方程；
（II）结合（I）中结论，及B、C两点关于M点对称，可得△ABC的外接圆是以M为圆心，以BC为直径的圆，求出BC长即可得到圆的方程；
（III）若在△ABC的外接圆圆M上存在点P，使得|PN|=|PT|成立，则P为线段NT的垂直平分线L与圆M的公共点．所以当L与圆M相离时，不存在满足条件的点P；当L与圆M相交或相切时则存在满足条件的点P．由此设出N点坐标，代入点到直线距离公式进行验证，即可得到结论．
【解析】
（I）∵∴AT⊥AB，又T在AC上∴AC⊥AB，△ABC为Rt△ABC，（1分）
又AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，，所以直线AC的斜率为-3．（2分）
又因为点T（-1，1）在直线AC上，
所以AC边所在直线的方程为y-1=-3（x+1）．即3x+y+2=0．（3分）
（II）AC与AB的交点为A，所以由解得点A的坐标为（0，-2），（5分）（6分）
又r=．（7分）
从△ABC外接圆的方程为：（x-2）2+y2=8．（8分）
（III）若在△ABC的外接圆圆M上存在点P，使得|PN|=|PT|成立，则P为线段NT的垂直平分线L与圆M的公共点．所以当L与圆M相离时，不存在满足条件的点P；当L与圆M相交或相切时则存在满足条件的点P．
由N（-n，0），T（-1，1），知NT的斜率为，线段NT的中点为
线段NT的垂直平分线L为（10分）
圆M的圆心M到直线L的距离为
d=（11分）
i）当n=1时，d=，此时直线L与圆M相交，存在满足条件的点P
ii）当n=2时d=，此时直线L与圆M相交，存在满足条件的点P
iii）当n≥3时，
此时直线L与圆M相离，不存在满足条件的点P．（14分）