Question

已知函数f（x）的图象经过点（1，λ），且对任意x∈R，都有f（x+1）=f（x）+2．数列{a_n}满足．
（1）当x为正整数时，求f（n）的表达式；
（2）设λ=3，求a₁+a₂+a₃+…+a_2n；
（3）若对任意n∈N^*，总有a_na_n+1＜a_n+1a_n+2，求实数λ的取值范围．

Answer

（1）当x为正整数时，f（n）可以看成一个数列，利用题中条件求出数列的递推关系式即可求出f（n）的表达式；
（2）先利用条件求出分段数列{an}的表达式，再对a1+a2+a3+…+a2n进行分组求和即可求出a1+a2+a3+…+a2n；
（3）先分n为奇数和偶数两种情况对不等式两边进行整理，发现n为奇数时，不等式恒成立；n为偶数时，转化为关于实数λ的不等式恒成立即可求实数λ的取值范围．
【解析】
（1）记bn=f（n），由f（x+1）=f（x）+2有bn+1-bn=2对任意n∈N*都成立，
又b1=f（1）=λ，所以数列bn为首项为λ公差为2的等差数列，（2分）
故bn=2n+λ-2，即f（n）=2n+λ-2．（4分）

（2）由题设λ=3
若n为偶数，则an=2n-1；（5分）
若n为奇数且n≥3，则an=f（an-1）=2an-1+λ-2=2•2n-2+λ-2=2n-1+λ-2=2n-1+1（6分）
又a1=λ-2=1，
即
a1+a2+a3++a2n=（a1+a3++a2n-1）+（a2+a4++a2n）=（2+22++22n-2+n-1）+（21+23++22n-1）
=（1+21+22++22n-1）+n-1=22n+n-2．（9分）

（3）当n为奇数且n≥3时，an+1an+2-anan+1=an+1（an+2-an）=2n[2n+1+λ-2-（2n-1+λ-2）]=3•22n-1＞0；（10分）
当n为偶数时，an+1an+2-anan+1=an+1（an+2-an）=（2n+λ-2）（2n+1-2n-1）]=3•2n-1（2n+λ-2），（11分）
因为anan+1＜an+1an+2，所以2n+λ-2＞0，（12分）
∵n为偶数，∴n≥2，
∵2n+λ-2单增∴4+λ-2＞0，即λ＞-2（13分）
故λ的取值范围为（-2，+∞）．（14分）．