Question

已知=（sinx，cosx），=（cosx，-cosx），x∈R，定义函数f（x）=•-
（1） 求函数．f（x）的最小正周期，值域，单调增区间．
（2） 设△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a、b、c，且c=，f（C）=0，若=（1，sinA）与=（2，sinB）
共线，求a，b的值．

Answer

（1）根据平面向量的数量积的运算法则求出•，代入f（x）解析式，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式及两角差的正弦函数公式化简为一个角的正弦函数，利用周期公式即可求出f（x）的最小正周期，由正弦函数的值域和正弦函数的单调增区间即可求出f（x）的值域和单调增区间；
（2）由f（C）=0，代入f（x）的解析式中，根据C的范围，即可得到C的度数，然后根据平面向量平行时满足的条件以及正弦定理得到a与b的关系式，记作①，再根据余弦定理，由c和sinC的值表示出a与b的另一个关系式，记作②，联立①②即可求出a与b的值．
【解析】
（1）由题意可知：f（x）=•-=sinxcosx-cos2x-
=sin2x-cos2x-1=sin（2x-）-1，
∴f（x）的最小正周期T=π，值域为[-2，0]，
令2kπ-≤2x-≤2kπ+，解得：kπ-≤x≤kπ+（k∈Z），
∴f（x）的增区间为：[kπ-，kπ+]（k∈Z）；
（2）∵f（x）=sin（2x-）-1，又f（C）=0，
∴f（C）=sin（2C-）-1=0，又C为△ABC的内角，∴C=，
又=（1，sinA）与=（2，sinB）共线，∴sinB=2sinA，根据正弦定理得：b=2a①，
由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC，即3=a2+b2-ab②，
联立①②，解得a=1，b=2．