Question

已知函数f（x）=aln（1+e^x）-（a+1）x，（其中a＞0），点A（x₁，f（x₁），，B）C（x₃，f（x₃））从左到右依次是函数y=f（x）图象上的不同点，且x₁，x₂，x₃成等差数列．
（1）证明：函数f（x）在R上是单调递减函数；
（2）证明：△ABC为钝角三角形；
（3）请问△ABC能否成为等腰三角形？若能，求△ABC面积的最大值；若不能，说明理由．

Answer

（1）∵f（x）=aln（1+ex）-（a+1）x，欲证函数f（x）在（-∞，+∞）上是单调减函数，只须证明其导数f′（x）＜0即可；
（2）先设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3））且x1＜x2＜x3，欲证：△ABC是钝角三角形，只须证明其中一个内角为钝角即可，结合向量的坐标运算，只须证明：即得；
（3）假设△ABC为等腰三角形，则只能是 ，再利用平面内两点的距离公式将点的坐标代入计算，如出现矛盾，则△ABC不可能为等腰三角形，如不矛盾，则△ABC能是等腰三角形．
【解析】
（1）∵f（x）=aln（1+ex）-（a+1）x，∴恒成立，
所以函数f（x）在（-∞，+∞）上是单调减函数．（3分）
（2）证明：据题意A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3））且x1＜x2＜x3，
由（Ⅰ）知f（x1）＞f（x2）＞f（x3），x2=（4分）
可得A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3））三点不共线
（反证法：否则 ，得x1=x3）
∴
∴（6分）
∵x1-x2＜0，x3-x2＞0，f（x1）-f（x2）＞0，f（x3）-f（x2）＜0，∴，∴
即△ABC是钝角三角形（8分）
（3）假设△ABC为等腰三角形，则只能是
即：（x1-x2）2+[f（x1）-f（x2）]2=（x3-x2）2+[f（x3）-f（x2）]2∵x2-x1=x3-x2∴[f（x1）-f（x2）]2=[f（x3）-f（x2）]2
即2f（x2）=f（x1）+f（x3） ①（11分）
而事实上，②
由于 ，故（2）式等号不成立．这与（1）式矛盾．
所以△ABC不可能为等腰三角形．（13分）