Question

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和满足S_n＞1，且6S_n=（a_n+1）（a_n+2），n∈N^*
（Ⅰ）求a₁；
（Ⅱ）证明{a_n}是等差数列并求数列的通项公式．

Answer

（Ⅰ）由题意可得：令n=1可得a1=1或a1=2，因为a1=S1＞1，所以a1=2．
（Ⅱ）由an+1=Sn+1-Sn=，可得an+1-an-3=0或an+1+an=0，根据题意可得：an+1=-an不成立．所以an+1-an-3=0．再集合等差数列的定义可得答案．
【解析】
（Ⅰ）【解析】
由题意可得：，解得a1=1或a1=2，
因为a1=S1＞1，所以a1=2．
（Ⅱ）由an+1=Sn+1-Sn=，
可得an+1-an-3=0或an+1+an=0，
因为数列{an}的各项均为正数，
所以an+1=-an不成立，故舍去．
所以an+1-an-3=0．
根据等差数列的定义可得：{an}是公差为3，首项为2的等差数列，
所以{an}的通项为an=3n-1．